MATEMATICAS IV

SEMANA UNO DE CUARENTENA 

Eclipse y aplicaciones

Circunferencia y aplicaciones

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias , a dos puntos fijos F y F', denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse. La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O de la elipse. La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor.

La circunferencia en uno de los elementos geométricos más importante del área de geometría, este tuvo un gran avance en su invención desde la prehistoria además es una de figuras geométricas que más han ayudado al desarrollo de la humanidad. ha  sido sumamente importante para el desarrollo de gestiones de comercio y cálculo en la vida de cada persona y con el desarrollo del número pi (π) y su relación el sistema de circunferencia este se perfeccionó mucho más para el uso y sus aplicativos en el desarrollo de la construcción, trasportes, comunicación, música, sistemas de horarios, entre otros y en los cuales se basan sus diseños.

 "Cono y sus secciones...."

En el ámbito de la geometría, se llama cono a la figura geométrica que se encuentra limitada por el plano que realiza un corte a una superficie cónica cerrada.

Una superficie cónica, por su parte, es una superficie reglada: se produce por el desplazamiento de una recta (la generatriz) sobre una o más curvas (las directrices). En el caso específico de la superficie cónica, es aquella que está compuesta por las rectas que tienen un punto en común (llamado vértice) y que intersecan a una circunferencia que no está en el mismo plano

Sección cónica
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

Generación de secciones cónicas
β < α : Hipérbola (azul)
β = α : Parábola (verde)
β > α : Elipse (morado)
β = 90º : Círculo (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, como fácilmente se puede comprobar:

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
Estas secciones degeneradas no se consideran secciones cónicas.

Expresión algebraica.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

ax2 + 2hxy + by2 +2gx + 2fy + c = 0
en la que, en función de los valores de los parámetros, tendremos:

h2 = ab : parábola.
h2 < ab : elipse.
a = b y h = 0 : círculo.
h2 > ab : hipérbola.
a + b = 0, la ecuación representará una hipérbola rectangular.

++SEMANA:3+

¿QUÉ ES UN ELIPSOIDE Y SU RELACIÓN CON LA ELIPSE EN LA ARQUITECTURA?
Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos cada plano.
La "Elipsoide" es una de las formas Geométricas que hoy son protagonistas de los nuevos diseños arquitectónicos alrededor del mundo. Además del gran nivel de estética que la elipse le puede dar a un lugar, la elipse tiene ciertas características que la hacen famosa en el grupo de las cónicas en la arquitectura.
La acústica es la propiedad de un lugar o recinto que se ocupa de la producción, transmisión, recepción y control del sonido. El elipsoide es usada en la construcción de teatros, estadios y lugares públicos donde se necesite que el sonido se distribuya a través de toda el área.
Tal y como hace la luz y su reflejo en un espejo con forma de parábola, el sonido hace exactamente lo mismo en una construcción con forma de elipsoide. El sonido llega a un foco, en donde "es reflejado" y distribuido a través de toda la curvatura de la elipse ocupando así toda la figura hasta el otro foco. Por medio de la fórmula de la elipse la cual se grafica en un plano cartesiano, se puede saber que tan ancha o angosta es la elipse y donde se encuentran sus focos, por ende, se logra encontrar la existencia de acústica en un lugar. Para complementar los valores de esta distribución de sonido de un lugar, se usa el método de "La Zona de Fresnel", el cual con su respectiva formula, nos da el valor del volumen de espacio que hay entre el emisor de un sonido y el receptor de este.

Semana 4         Plano cartesiano. Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal. El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las yes ("y").

El movimiento circular es aquel cuya trayectoria de un punto siempre posee la misma distancia de su centro. el movimiento puede ser uniforme si la velocidad angular es constante o bien acelerada. La circunferencia también se utiliza en construcciones, tales como puertas, cúpulas, y columnas. Algunas piezas mecánicas presentan formas circulares, tales como rondanas, cabezas de tornillos, el filo de un orificio creado por la boca de un taladro.

la definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente procedimiento: Se toma un punto ${\displaystyle T}$ cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado ${\displaystyle F}$ y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento ${\displaystyle TF}$ . La intersección de la mediatriz con la perpendicular por ${\displaystyle T}$ a la recta directriz da como resultado un punto ${\displaystyle P}$ que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos ${\displaystyle T}$ se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal

hiperbola

.

Elementos

Elementos de la hipérbola:

1 Focos: Son los puntos fijos  y .

2Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5Vértices: Los puntos  y  son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos:  y .

7Distancia focal: Es el segmento  de longitud .

8Eje mayor: Es el segmento  de longitud .

9Eje menor: Es el segmento  de longitud .

Los puntos  y  se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio .

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11Asintotas: Son las rectas de ecuaciones: 

12Relación entre los semiejes: 

Elipse

Una elipse es una curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.²​ Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.³​

1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos.
4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
6. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
8. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=a2−c2−−−−−−√ 
9. Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

 es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1​En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.







         Semana 8...!! 

Fórmula para calcular la distancia...

La distancia AB entre dos puntos con coordenadas cartesianas A ( x 1 , y 1 ) y B ( x 2 , y 2 ) esta dada por la fórmula siguiente:
AB=√(x2-y2)+(y2-y1)
La fórmula de la distancia es simplemente el teorema de Pitágoras disfrazada.
Para calcular la distancia AB entre el punto A ( x 1 , y 1 ) y el punto B ( x 2 , y 2 ), primero dibuje un triángulo rectángulo que tenga al segmento como su hipotenusa.
Si las longitudes de los lados son a y b , entonces por el teorema de Pitágoras,

( AB ) 2 = ( AC ) 2 + ( BC ) 2

Resolviendo para la distancia AB , tenemos:
AB=√(AC)+(BC)
Ya que AC es una distancia horizontal, es solamente la diferencia entre las coordenadas en x : | ( x 2 – x 1 )|. De forma similar, BC es la distancia vertical | ( y 2 – y 1 )|.

Ya que estamos elevando al cuadrado estas distancias (y los cuadrados son siempre no negativos), no debemos preocuparnos por los signos de valor absoluto.
AB=√(x2-x1)+(y2-y1)

  Resumen...!!

El cálculo de la pendiente de una resta puede determinar la pendiente de una recta a partir de su gráfica examinando la elevación y el avance... Una característica de una recta es que su pendiente es constante en toda su extensión...
La pendiente de u a recta es la tangente del ángulo que firma la recta con la dirección positiva del eje abscisas... Sean p1(x1,y1) y (x2,y2) p2 dos puntos de una recta no paralela al eje "y"...
Es la tangente del ángulo que firma la recta con el semieje "x" positivo...
Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva...
Prácticamente para calcular las fórmulas y saber con mayor exactitud sobre, eso lo que será mucho más conveniente para s poder mostrar si las medidas y las distancias son buenas o no, y ya con ello pues se puede resolver mejor... Y bueno hay que tener en cuenta que cada una de las fórmulas son distintas aunque realmente se tendrá en cuenta mucho las acciones necesarias para que los resultados sean mucho más seguros y con mayor eficacia para ya poder calcular bien la distancia o la pendiente de cierto extremos que existe de un punto a otro punto...

Porque es importante como en donde se aplican los puntos medios...??.
Pues los puntos medios es el punto que se encuentra a la mitad de una recta es decir es la mitad de un punto con otro...conocer perfectamente sobre esto ayuda mucho ya que pues de una u otra forma ayuda ya que conocemos lo bueno de las cosas y bueno si queremos por ejemplo ir a cierto lugar y no sabemos con exactitud los puntos o el punto que esta exactamente a la mitad del trayecto.... Esto es muy importante porque así nosotros mismos conocemos sobre algo ,y aprender a calcular te punto ayuda mucho porque muestra muy bien una distancia además de que así nosotros mismos podemos desarrollar nuestra capacidad para aplicar fórmulas que al parecer no se nos pueden presentar situaciones así de complicadas pero en cualquier momento nosotros podemos desarrollar y nos podemos encontrar en algunas situaciones que impliquen la aplicación de esta fórmula y bueno ya así podremos mejorar mucho más y mucho mejor nuestra capacidad y nuestra aplicación de ciertas fórmulas para obtener algo simple y sencillo...

semana 9

semana 10